滾（gǔn）球法計算避雷針保（bǎo）護範圍

滾球法”是一種計算接閃器保（bǎo）護範圍的方（fāng）法（fǎ）。它的計算原理為以某一（yī）規定半徑的球體，在裝有接閃器的建築物上滾過，滾球體由於受建築物上所安裝的接閃器（qì）的（de）阻擋而無法觸（chù）及某些範圍，把這些（xiē）範圍認為是（shì）接閃器的保護（hù）範圍。這就是滾（gǔn）球法。
“滾球法”是國際電工委員會（IEC）推薦的接閃器保護（hù）範圍計算方法之一；我國目前正在實施的建築防雷規範GB50057-94也采納了“滾（gǔn）球法（fǎ）”。
由立體幾（jǐ）何的知識即可進行“滾球法”的計算。借助某些軟件在計算機上可以（yǐ）使計算的過程（chéng）及計算結（jié）果的表述變（biàn）得更加簡易。在本行業內大多數學者們的專著及文章中都對滾球（qiú）法的計算機（jī）輔助計算有詳細具體的說明。這裏（lǐ）就不再複述。
下麵介紹本公司在實際工程（chéng）中（zhōng）是如何運用滾球法（fǎ）的：
由於使用避雷針做為接閃器時（shí）得到的保（bǎo）護（hù）範圍，一般具有較好的軸對稱性；而使（shǐ）用（yòng）避雷帶等其它接閃器時所得到的保護範圍一般沒有軸對稱性，並且較為（wéi）複雜，因此本文中隻討論（lùn）以避雷針做為接閃（shǎn）器（qì）的情況。
首先規定以下幾（jǐ）個條件：
1、 滾球半（bàn）徑為R（根據GB50057-94可選30、45、60m）。
2、 地麵（miàn）無論坡度θ多（duō）大均為絕（jué）對平（píng）麵。
3、 避雷針（zhēn）高度H指針尖豎直至（zhì）地（dì）麵的距離，針尖以下部分均視為接閃器。針杆均（jun1）為豎直安裝，即避雷針與豎直軸（zhóu）重合。
　
一、 常規單針
（θ=0， H=R）
這（zhè）種情況（kuàng）的保護範圍沿豎直（zhí）軸具有完全軸對稱性，任選一個通過豎直軸的軸線剖麵如下圖
滾球球心（xīn）的運動軌（guǐ）跡為：
L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注：A=π
一個半徑為R的球（qiú）沿θ=0的地麵（miàn）滾動，當它遇到高度（dù）H=R的避雷（léi）針時被阻礙，讓它翻過針尖（jiān）繼續向前滾。滾球離開避雷針後我們即可（kě）看到滾球無法觸（chù）及的範圍就是（shì）滾球外圓運動（dòng）軌跡的內包絡線與地麵間的範（fàn）圍。這（zhè）就是該（gāi）剖（pōu）麵上的（de）保護範圍。由於保護範圍沿（yán）豎直軸具有完全軸對稱性，令該（gāi）包絡線沿豎（shù）直軸旋轉得到的實（shí）體就是實際空間的保（bǎo）護範圍。如果被保護的建築物完全在該實體的範圍內，則我們認為這（zhè）樣（yàng）的（de）保護是（shì）有效的。

二、常（cháng）規單針
（θ=0， 0<H<R）
這種情況的（de）保護範（fàn）圍沿豎直軸具有完全軸對（duì）稱性，任（rèn）選一個通過豎直軸（zhóu）的軸（zhóu）線（xiàn）剖麵如下（xià）圖滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注：0<A<π
一個（gè）半徑為（wéi）R的球沿θ=0的地（dì）麵滾動，當它遇到高度（dù）0<H<R的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼續（xù）向前滾。滾球離開避雷針後我們即可看到滾球（qiú）無法觸及的範圍就是滾球外圓運動軌跡的內包絡線與（yǔ）地麵間的範圍。這就是該剖麵上的保護範圍。由於保護範圍沿豎直（zhí）軸具（jù）有完全軸（zhóu）對稱性，令該包絡線沿豎直軸（zhóu）旋轉得（dé）到的（de）實體就是實（shí）際空間的保護範圍。如（rú）果被保護的建築物完全在該實體的範圍內，則我們認（rèn）為這樣的保（bǎo）護是有效的。
三、常規單針
（θ=0， H>R）
這種（zhǒng）情況的保護（hù）範圍沿豎直軸具有完全軸對稱性（xìng），任選（xuǎn）一（yī）個通過豎直（zhí）軸的軸線剖麵如下圖
滾球球（qiú）心的運動軌跡（jì）為：
L(直線)+ L(直線)+A(圓弧)+ L(直線)+L(直（zhí）線)
注：A=π
一個半徑（jìng）為R的（de）球沿θ=0的（de）地麵滾動（dòng），當它遇到高度H>R的避雷（léi）針時被阻礙，讓它翻（fān）過針尖繼續（xù）

向前滾。滾球離開避雷針後（hòu）我（wǒ）們即可看到滾（gǔn）球無法觸及的範圍就是滾球外圓運動（dòng）軌跡的內包絡（luò）線與地（dì）麵

間的範圍。這就是該剖麵上的保護範圍。由於（yú）保護範圍沿豎直軸具有軸對稱性，令該包（bāo）絡線沿豎直軸旋

轉得到的（de）實體就是實際空間的保護範圍。如果被保護的建築物（wù）完全在該實體的範圍內，則我們認為這（zhè）樣

的保護是有效（xiào）的。
總（zǒng）結上述三種情況（一，二，三）。
它們的保（bǎo）護範圍都沿豎直軸具有軸對稱性，並且避雷針與豎直軸均重合（hé），如果在（zài）不同高度上對保（bǎo）護範圍取水平截麵時即（jí）可得到保護範圍的輪廓線，它們是以避雷針為圓心的一係列同（tóng）心圓。
當保護（hù）範圍確定後，這些同心圓的半徑與水平截麵的高（gāo）度是一一對應的。即
r = f ( h ) ，h∈[0,H] （1）
式中： r ---- 同心圓的半徑（保護半徑）
h ---- 水平截（jié）麵高度
一般情況下，我們將 r 稱為保護半徑。嚴謹的說法應該是（shì）某高度（dù）上（shàng）的保護半徑。如“高度為5m時保護半徑為（wéi）20m 。”
保護半徑可（kě）以定義為：在某一高度的水平麵上（shàng），從避雷針到保護範圍邊界的距離。
而當在具體工程應（yīng）用中需要描述避雷針的（de）保護範圍時僅給出一個保護半（bàn）徑是不夠的！
請看下麵三種方法：
1、 公式法
方法：給（gěi）出保護半徑的表達式（1）。
優點：描述完整，精確。
缺點：計算複雜，不夠直觀。
常用於：編寫（xiě）教材及（jí）發表論文。
2、 列（liè）r-h表
方法：對高度h以一定的步（bù）長取值，帶入保護半徑的表達式（1）求出r列表即可。
優點：兼顧精確性及（jí）直觀性。
缺點：計算複雜，不夠完整。
常用於：編（biān）製產品手冊。
3、 校核（hé）危（wēi）險剖麵
方法（fǎ）：根據經驗找出最有可能（néng）超出保護（hù）範（fàn）圍的幾個危險點，然後做出通過這些危險點的軸線剖麵進行校核即可。
優點：計算簡單，精確。
缺點：缺乏完整性及直（zhí）觀性。
常用於：具體工程計算（suàn）。
在一，二，三（sān）中，以上3種（zhǒng）方法均適用，差別不大。

四、常規單針
（ 0<θ<π/2， H=R·tg[(π-2θ)/4] ）
這（zhè）種情況的保護範（fàn）圍（wéi）沿豎直軸具有麵（miàn）對稱性，沿垂直軸具有軸對稱性，選取通過豎直軸及垂直軸的軸（zhóu）線剖麵如下圖
滾（gǔn）球球心（xīn）的運動軌跡為：
L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注： A＝π－2θ
一個半徑（jìng）為（wéi）R的球沿坡度為θ的（de）地麵滾動，當它遇（yù）到高度H=R·tg[(π-2θ)/4] 的（de）避雷針時（shí）被（bèi）阻礙，讓它翻過（guò）針尖繼續向（xiàng）前（qián）滾。滾球離開（kāi）避（bì）雷針後我們即可看到滾球無法觸及的範（fàn）圍就是滾球外圓運動軌跡的內包絡線（xiàn）與（yǔ）地麵間的範圍。這就是該剖（pōu）麵上的保護（hù）範圍。由於保護範圍沿垂直軸具有軸對稱性，令該包絡線沿垂直軸旋轉得到的實體就是實際空間的（de）保護範圍（wéi）。如果被保護的建築物（wù）完全在該實體的範圍（wéi）內，則我們認為這樣的保護是有效（xiào）的。
五、常規單針
（ 0<θ<π/2， H=R·ctg[(π-2θ)/4] ）
這種情況的保護範圍沿豎直軸具有麵對稱性，沿（yán）垂直（zhí）軸具有麵（miàn）對稱性，選取（qǔ）通過（guò）豎直軸及垂直軸的軸線剖麵如下圖
滾（gǔn）球球心（xīn）的運動軌跡為：
L(直線)+ L(直線)+A(圓（yuán）弧（hú）)+L(直線（xiàn）)
注： A＝π
一個半徑為R的球沿坡度為θ的地麵滾動，當它遇到高度H=R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷針時被阻礙，讓它翻過針尖繼（jì）續向（xiàng）前（qián）滾。滾球離開（kāi）避雷針後我們即可看到滾（gǔn）球無法觸及的（de）範圍就是滾球外圓運動軌（guǐ）跡的內包絡線與地麵間的範圍。這就是該剖麵上的保護（hù）範圍。由於保護範（fàn）圍不具有（yǒu）軸對稱性，所以不能采用（yòng）令包絡線旋轉的方式（shì）得到實際空間的保護範圍（wéi）。我們可以通過豎直軸做不（bú）同的剖麵得到不同的內包絡線（xiàn），這些內包絡線的集合與地麵形成的空間實體就是保護範圍。如果被保（bǎo）護的建（jiàn）築物（wù）完全在該實體（tǐ）的範圍內，則我們認為這樣的保護是有效的（de）。
六、常規單針
（ 0<θ<π/2， 0<H<R·tg[(π-2θ)/4] ）
這種情況的保護範圍（wéi）沿豎直軸（zhóu）具有麵對稱性，沿垂直軸具有軸（zhóu）對（duì）稱性，選取通過豎直軸及垂直

軸的軸線剖（pōu）麵如（rú）下圖

滾球（qiú）球心的運動軌跡為：
L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注： 0<A<π－2θ
一個半（bàn）徑為R的球沿坡度為θ的地（dì）麵滾動，當它遇（yù）到高（gāo）度0<H<R·tg[(π-2θ)/4] 的避雷針時被（bèi）

阻礙，讓（ràng）它翻過針尖繼續向前滾。滾球離開避雷針後我們即可（kě）看到滾球無法觸（chù）及的範圍就是滾球外圓運動軌跡的內包絡線與地麵間的範圍。這就（jiù）是該剖麵上的保護（hù）範圍（wéi）。由於（yú）保（bǎo）護範圍沿垂直軸具有軸對稱性，令（lìng）該包絡線（xiàn）沿（yán）垂直軸旋（xuán）轉得到的實體就是實際空間的保護範圍。如果被保護的（de）建築物完全（quán）在該實體的範（fàn）圍內，則我們認為這樣的保護是有效的。

七、常規單針
（ 0<θ<π/2， R·tg[(π-2θ)/4] <H<R·ctg[(π-2θ)/4] ）
這種情況的保護範圍沿豎（shù）直軸（zhóu）具有麵對（duì）稱性，沿垂直軸具有（yǒu）麵對稱（chēng）性，選取通過豎直軸及垂直軸的軸線（xiàn）剖麵如下圖
滾球球心的運動軌跡為：
L(直線)+ L(直線)+A(圓弧)+L(直線)
注：π－2θ<A<π
一個半徑為R的球沿坡度（dù）為θ的地麵滾動，當它（tā）遇到（dào）高度R·tg[(π-2θ)/4] <H<R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷針時（shí）被阻礙，讓它翻過針（zhēn）尖繼續向前滾。滾球（qiú）離開避雷（léi）針後我們即可看到滾球無法觸（chù）及（jí）的範圍就是滾球外圓運動軌跡的內包絡線與地麵間的範圍。這就是該剖（pōu）麵上的保護範圍。由於保（bǎo）護範圍不（bú）具有軸對稱性，所以不能采用令包絡線旋（xuán）轉的方式得到實際空間的保護範圍。我（wǒ）們可以通過豎直軸做不同的剖麵得到不同的內包絡線（xiàn），這些內（nèi）包絡線的集合與地麵形成（chéng）的空間實體就是保護範圍。如果被保護的建築物完全（quán）在該實（shí）體的範圍內，則我們認（rèn）為這（zhè）樣的保護（hù）是有效的。
八、常規單針
（ 0<θ<π/2， H>R·ctg[(π-2θ)/4] ）
這種情況（kuàng）的保護範圍沿豎直軸具有麵對稱性，沿垂直軸具（jù）有麵對稱性，選取（qǔ）通過豎直軸及（jí）垂直軸的（de）軸線剖麵如（rú）下圖
滾球球心（xīn）的運動軌跡為：
L(直線)+ L(直線)+A(圓弧)+ L(直線)+L(直線)
注： A＝π
一個半徑為R的球沿（yán）坡度（dù）為θ的地麵（miàn）滾動，當它遇到高度H>R·ctg[(π-2θ)/4] 的避雷針時（shí）被阻礙（ài），讓它翻過針尖繼續向前滾。滾球離開避雷針後我們即可（kě）看到滾球無法觸及的範圍就是滾球外圓（yuán）運動軌（guǐ）跡（jì）的內包絡線與（yǔ）地麵間的範圍。這就（jiù）是該剖麵上（shàng）的保護範圍。由於保護範圍不具有軸對稱性，所以不能采用令包絡線旋轉的方式得到實際空間的保護範圍。我們可以通過豎直（zhí）軸（zhóu）做不同的剖麵（miàn）得到不同的內包絡線，這些內包絡線的集合與地麵形成的空（kōng）間實體就是保護範（fàn）圍。如果被保護的建築物完全在該實體的範圍內，則（zé）我（wǒ）們認為這樣的保護是有效的。
總結上述五種情（qíng）況（四，五，六（liù），七，八）。
它們的保護範圍都具有麵對稱性，該對稱麵由豎直軸及垂直軸確定（dìng）。其中四，六的（de）保護範圍（wéi）具有軸對（duì）稱性，對稱軸為垂直軸。如果在不同高度上對保護範圍取水平（píng）截麵時即可得到保護範圍的（de）輪廓線，但是線型較複（fù）雜（zá）。
為了（le）便於分析，引入柱坐（zuò）標係{r，β，h}。以避雷（léi）針為h軸，針杆與地麵的交點為0點。
則（zé）保護半（bàn）徑的表達式為
r = f (β，h ) ，β∈[0,2π]，h∈[-R,H+R] （2）
式（shì）中（zhōng）： r ---- 保護半徑
β ---- 方（fāng）向
h ---- 水平截麵高度（dù）
從（2）式中可看出，保（bǎo）護半（bàn）徑由高度及方向兩個（gè）因素決（jué）定。此時的說法（fǎ）應該改為某高度上某（mǒu）方向的保護半徑。如“高度為（wéi）5m時，東偏南30?的保（bǎo）護半徑為20m 。”
而此時在具體工程應用中需要描述避雷針的保護範圍時僅給（gěi）出一個保護半徑是遠不夠的！
請看下麵四種方法：
1、公式（shì）法
方法：給出保護半徑的表達式（2）。
優點：描述完整，精確。
缺點：計算較複雜，不（bú）夠直觀。
2、列r-β, h表
方法：對（duì）方向β,高度h以一定的步長取值，帶入保護半徑的表達式（2）求（qiú）出r列表（biǎo）即可。
優點：描述精確（què）。
缺點：計算（suàn）較複雜，不（bú）夠完整，不夠直觀。
3、校核危險剖麵
方法：根據經驗找出最有可能超出保護範圍（wéi）的幾個危險點（diǎn），然後做出通過這些危險點的軸線剖麵進行校核即可。
優點：計算簡單，精確。
缺點：缺乏完整性及直觀性。
4、計算機輔助設計
方法：使用三維繪（huì）圖軟件（jiàn）顯示計算結果。
優點：非常完（wán）整，精確，直觀。
缺點：計算較複雜。
在四，五，六，七，八中，第1，2，4種方法存在計算較複雜的問（wèn）題，都要上機編程計（jì）算。我們認為第3種方法較適用。
總結上述八種情況（一（yī）～八）。
對坡度θ有變化的地形，或者（zhě）安（ān）裝一隻以上的避雷針（zhēn）時，可以用以上八種情況組合而成進行分析，此時保護半徑的表達式會相當複雜。當使用我們推薦的第3種方法時，雖然需要一定的經驗，但是計（jì）算過程將變得簡單（dān）。
通用（yòng）的滾球法計算步驟
一、 適用範圍說明
1、 任意形式的常規接閃器（qì），包括避雷針，避雷帶，避（bì）雷（léi）線（xiàn），避雷網。
2、 接閃器（qì）的安（ān）裝數量不受限製。
3、 地形起伏不受限製。
4、 除保護對象外，其他建築物均視為大地。

二、 計算準（zhǔn）備
1、 選用空（kōng）間三維直（zhí）角坐標係｛X,Y,Z｝。X－Y平麵為水平麵，Z軸為豎直軸。
2、確定地形邊界。被保護對象在X－Y平麵上投影的外廓沿（yán）法線方向外移2R（滾球直徑）即可得到地形邊界的（de）最小範（fàn）圍。將地形邊（biān）界內的大地表麵數字化，可得到一個麵的集合（hé），定義為集合A(2,0)。
集合名稱注解：
a、英文字母（mǔ）是集合的名稱。
b、括號中的第一位數字（zì）表示集合中的元素所形（xíng）成的空間結構特性（xìng）。1表示線結構，2表（biǎo）示麵結構（gòu），3表示實體結構。
c、括號中的（de）第二位數字每（měi）增加1就表（biǎo）示原集（jí）合中的元（yuán）素經過1次運算又得（dé）到了一個新的集合。
3、將被保護對象數字化，可得到一個實體的集合，定義為集合B(3,0)。
4、將所設計的接閃器數（shù）字化，可得到一個線的集合，定義為集合C(1,0)。

三、 計算
1、 優化大地表麵（miàn）。將A(2,0)通過優化計算得到A(2,1)。要求A(2,1)中任意一點的曲麵半徑均不小於（yú）滾球半（bàn）徑R。
2、 將A(2,1)沿法線方向向上移動，距（jù）離為（wéi）R，得（dé）到新的集（jí）合A(2,2)。
3、 定義A(2,0) 與A(2,2)之（zhī）間的空間為A(3,3)。
4、 將C(1,0)沿法線（xiàn）方（fāng）向向外擴大，距離為R，得到新的集合C(3,1)。
5、 定義（yì）A(3,3) 與C(3,1)的（de）並集為D(3,0)。
6、 定義D(3,0) 的上表麵為D(2,1)。
7、 將D(2,1)沿法線方向向下移動，距離（lí）為R，得（dé）到新的集合D(2,2)。
8、 定（dìng）義（yì）A(2,1) 與D(2,2)之間的空間為E(3,0)。E(3,0)就是接閃（shǎn）器的保護範（fàn）圍空間。
9、 定義A(2,0) 與A(2,1)之（zhī）間的空間為F(3,0)。F(3,0)是自（zì）然保護範圍空間。意思（sī）是不安裝接閃器該空間也受保護。
10、 定義E(3,0) 與F(3,0)的並集為G(3,0)。G(3,0)就是總的保護範（fàn）圍空間。
11、 令H(3,0)=B(3,0)-B(3,0)∩G(3,0)。H(3,0)就是被保護對象上不在保護範圍內的空間。如果H(3,0)為空集（jí），則表示被保護對象在接閃器的保護範圍內。